LIFTEZ LES SYLOWS! UNE SUITE À “SOUS-GROUPES PÉRIODIQUES D’UN GROUPE STABLE”

BRUNO POIZAT^{1} AND FRANK O WAGNER^{2}

Abstract. If G is an omega-stable group with a normal definable subgroup H, then the Sylow-2-subgroups of G/H are the images of the Sylow-2-subgroups of G. Zusammenfassung. Sei G eine omega-stabile Gruppe und H ein definierbarer Normalteiler von G. Dann sind die Sylow-2-Untergruppen von G/H Bilder der Sylow-2-Untergruppen von G.

Si H est un sous-groupe normal d’un groupe fini G, les p-sylows de G/H sont les images des p-sylows de G ; c’est une conséquence directe de la conjugaison des sylows, et du fait que l’ordre d’un sylow est la puissance maximale de p divisant l’ordre du groupe ambiant.

Nous généralisons ici cette propriété au cas où H est définissable, p = 2, et G est oméga-stable, ou même seulement stable et menu, ou bien est stable et périodique; ou encore si H est toujours définissable, p premier quelconque, mais G stable et résoluble par fini.

Ces hypothèses nous ont permis dans [3] de montrer que les sylows de G (comme ceux de G/H!) sont localement finis et conjugués. Si nous renonçons à la seconde hypothèse du Théorème 14 (ii) de cet article, c’est que nous n’allons pas jusqu’à prétendre que ℤ/2ℤ se relève en un 2-sylow de ℤ!

Nous faisons paraître cette note par remord de n’avoir pas fait cette remarque alors (elle attire l’attention sur la difficulté de la démonstration du Théorème 14(ii) !), et aussi parce que ce résultat simple fait défaut dans un manuel sur le sujet comme [1].

Les cardinaux infinis manquant de valuation p-adique, nous procédons de manière fort différente en commençant par relever les p-groupes nilpotents. Nous montrons tout d’abord que si G/H lui-même est un p-groupe d’exposant fini, il se relève sur n’importe quel sylow S de G.

En effet, nous savons qu’alors G/H est nilpotent; soit H_{1} le centre de G modulo H: c’est également un groupe définissable. Nos hypothèses impliquent que tout élément de G/H se relève en un p-élément de G: il suffit de voir que tout élément g de G est congru modulo H à un élément d’ordre fini; c’est évident dans le cas périodique; dans le cas menu, cela vient de ce que g est contenu dans un groupe abélien définissable A, et que A ∩ H se décompose en un groupe divisible et un groupe d’exposant fini [3,

Research at MSRI is supported in part by NSF grant DMS-9701755.

1 La unua geskribisto varmege dankas pro la \underline{g}ia gastemo la Instituton de Ser\underline{c}ado de Matematikaj Sciencoj (MSRI) de la urbo Berkeley, en kiu estis prilabora tiu artikoleto en la monato januaro de jaro mil na\underline{u} cent na\underline{u} dek ok post la naski\underline{g}o Krista.

2 Heisenberg-Stipendiat der Deutschen Forschungsgemeinschaft (Wa 899/2-1).

2 BRUNO POIZAT^{1} AND FRANK O WAGNER^{2}

Lemme 13]. Donc tout élément central dans G/H, se relevant dans un conjugué de S, a bien un antécédent dans S lui-même. Cela règle le cas où G/H est commutatif; pour le cas général, nous procédons par induction sur la classe de nilpotence de G/H, si bien que nous savons que tout élément de G/H_{1} se relève dans S. Tout élément g de G s’écrit donc comme produit d’un élément de S et d’un élément de H_{1}, ce dernier s’écrivant comme produit d’un élément de S et d’un élément de H; finalement, g est bien congru modulo H à un élément de S.

Il nous suffit maintenant de montrer que tout sylow Σ de G/H s’exprime comme réunion d’une suite croissante Σ_{1}, …, Σ_{n}, … de sous-groupes définissables d’exposant fini; en effet, nous relèverons d’abord Σ_{1} sur un sylow S_{1} de son image réciproque, puis Σ_{2} sur un sylow S_{2} de son image réciproque contenant S_{1}, et ainsi de suite.

Changeant alors de notation, nous considérons un sylow S d’un groupe G satisfaisant nos hypothèses. S est localement fini et nilpotent par fini; il est donc possible de trouver un sous-groupe définissable nilpotent G_{1} de G, normalisé par S, tel que l’intersection S_{1} de S et de G_{1} soit d’indice fini dans S. Comme S normalise l’unique sylow S_{2} de G_{1}, il le contient, et en fait S_{1} = S_{2}: S_{1} est cet unique sylow de G_{1}. D’après le Lemme 3 de [3], le quotient de S_{1} par son centre est d’exposant fini p^{a}. On trouve alors un entier b, facilement calculable en fonction de p^{a} et de la classe de nilpotence de S_{1}, tel que pour tout n ≥ b les éléments de S_{1} d’ordre au plus p^{n} forment un groupe Π_{n} (voir [4, Lemma 1.2.20]; dans le cas menu, on le voit de façon plus directe en observant que le centre de S_{1} est engendré par un groupe d’exposant fini et un groupe divisible, si bien que S_{1} lui-même est engendré par un groupe d’exposant fini et un groupe central divisible.) Π_{n} est définissable car c’est en fait l’ensemble des éléments d’ordre divisant p^{n} de G_{1}. Notons Γ un groupe, fini, engendré par un système de représentants de S/S_{1}; comme Π_{n} est caractéristique dans S_{1}, il est normalisé par Γ, et engendre avec ce dernier un groupe définissable Σ_{n}, puisque Π_{n} est d’indice fini dans Σ_{n}. S est bien l’union des Σ_{n}.

On observe que le résultat de [2] interdit aux Σ_{n} d’être tous normaux, et a fortiori caractéristiques, dans S quand ce dernier n’est pas nilpotent.

References

[1] Alexandr Borovik & Ali Nesin, ‘Groups of finite Morley Rank’, Oxford, Clarendon Press, 1994 [2] Jamshid Derakhshan & Frank O Wagner, ‘Nilpotency in groups with chain condition’, à paraître

dans Oxford Quarterly Journal

[3] Bruno Poizat & Frank O Wagner, ‘Sous-groupes périodiques d’un groupe stable’, J. Symb. Logic, 385–400, 1993

[4] Frank O Wagner, ‘Stable groups’, London Math. Soc. Lecture Notes 240, Cambridge University Press, 1997

Bruno Poizat, Institut Girard Desargues, Université Claude Bernard (Lyon-1), bâtiment 101 (mathématiques), 43, boulevard du 11 novembre 1918, 69621 Villeurbanne, France

  E-mail address: poizat@desargues.univ-lyon1.fr

Frank O Wagner, Mathematical Institute, University of Oxford, 24–29 St Giles’, Oxford OX1 3LB, UK

  E-mail address: wagner@maths.ox.ac.uk