Déformations formelles de revêtements :

un principe local-global

José Bertin et Ariane Mézard

Abstract: Let C be a generically smooth, locally complete intersection curve defined over an algebraically closed field k of characteristic p ≥ 0. Let G ⊂ Aut_{k} C be a finite group of automorphisms of C. We develop a theory of G-equivariant deformations of the Galois cover C → C/G. We prove that all obstructions to G-equivariant deformations are local: they are localized at singular and widely ramified points. As an application, we discuss the case of G-equivariant deformations of semi-stable curves.

1 Introduction

Pour étudier le groupe fondamental d’une courbe algébrique en caractéristique p > 0, une des méthodes fondamentales est la construction de revêtements par relèvement ou par épaississement ([HaSt]). L’objet de ce travail est de montrer que la théorie des déformations équivariantes, exposée d’un point de vue formel par Illusie ([Il]), permet d’unifier ces constructions. Soit C une courbe réduite connexe (génériquement lisse), localement d’intersection complète définie sur un corps k algébriquement clos de caractéristique p ≥ 0. Soit G ⊂ Aut_{k} C un groupe fini d’automorphismes de C. Nous développons dans cet article une théorie des déformations G-équivariantes du revêtement galoisien C → C/G (§2). Nous considérons les déformations équivariante de voisinages formels des points de ramification ou des points singuliers éventuels (§3). Nous établissons que les obstructions aux déformations G-équivariantes sont toutes de nature locale (Théorème 4.1.3) : ces obstructions sont localisées en un ensemble fini de points formé des points singuliers et des points de ramification sauvage. Nous montrons ensuite comment ce principe local-global permet d’expliquer et de généraliser plusieurs résultats récents sur les questions de relèvements et d’épaississements des revêtements ([BeMé],[GrMa], [HaSt],[He]). Enfin (§5), nous traitons plus en détail le cas des courbes semi-stables. Il s’agit alors de décrire l’anneau versel de déformations équivariantes d’un point double.

Mots clés : déformation équivariante, principe local-global, courbe singulière.

This paper was written during a very pleasant stay of the authors at the MSRI. Research at MSRI is supported in part by NSF grant DMS-97011755.

2 Déformations équivariantes : cas global

Nous rappelons d’abord brièvement le formalisme des déformations équivariantes. Nous nous concentrons ensuite sur les déformations équivariantes de courbes projectives éventuellement singulières.

Tous les schémas que nous considèrons sont localement noethériens. Soit S un tel schéma et Sch_{S} la catégorie des S-schémas. Soit X un S-schéma localement de type fini et plat. Soit G ⊂ Aut_{S} X un groupe fini de S-automorphismes de X. Soit S′ un S-schéma. Un relèvement G-équivariant de X à S′ est la donnée

- d’un schéma X′ plat sur S′ tel que

\begin{matrix}X & \overline{φ →} & X′ \\ S & ↓ & \overline{→} & S′ & ↓ \end{matrix}

soit un produit fibré : X ⟶^{∼} X′ ×_{S′} S.

- et d’une action de G sur X′/S′ qui rend le morphisme φ G-équivariant. Deux relèvements G-équivariants (X′_{1}, φ_{1}), (X′_{2}, φ_{2}) de X à S′ sont équivalents s’il existe un S′-isomorphisme G-équivariant

f : X′_{1} ⟶^{∼} X′_{2}, avec fφ_{1} = φ_{2}

Une déformation G-équivariante de X à S′ est une classe d’équivalence de relèvements G-équivariants de X à S′. Le foncteur des déformations G-équivariantes est défini par

D_{X/S,G} : Sch_{S} → Ens, S′ ↦ {déformations G-équivariantes de X à S′}

L’objet de ce travail est l’étude de ce foncteur dans le cas particulier où X est une courbe C réduite connexe (génériquement lisse), localement d’intersection complète, définie sur un corps k algébriquement clos de caractéristique p ≥ 0. Nous supposons C munie de l’action d’un groupe fini G d’automorphismes. Soit Λ un anneau de valuation discrète complet de caractéristique 0 de corps résiduel k, par exemple Λ = W (k) anneau des vecteurs de Witt de k. Soit Ĉ la catégorie dont les objets sont les Λ-algèbres R locales noethériennes complètes, avec k ≅ R/M_{R} pour M_{R} idéal maximal de R ; les flèches sont les Λ-morphismes d’anneaux locaux. La catégorie C est la sous-catégorie pleine de Ĉ formée des objets qui sont de longueur finie comme Λ-modules. Notons k[ε], où ε^{2} = 0, l’anneau de C des nombres duaux sur k. Définissons le foncteur des déformations G-équivariantes globales

D_{gl} : C → Ens, A ↦ {déformations G-équivariantes de C à Spec A} Notons Ω_{C/k}^{1} le faisceau des différentielles de Kähler de la courbe C. Comme dans le cas des déformations G-équivariantes des courbes lisses ([BeMé]), nous montrons que l’espace tangent au foncteur D_{gl} est D_{gl}(k[ε]) ≃ Ext_{O_{C},G}^{1}(Ω_{C/k}^{1}, O_{C}) (pour la définition du foncteur Ext voir [Gr1] 5.6.7). Les obstructions aux déformations appartiennent au groupe Ext_{O_{C},G}^{2}(Ω_{C/k}^{1}, O_{C}) (pour la théorie générale des déformations équivariantes voir [Il]). D’après le critère de Schlessinger ([Sc] §3.7), le foncteur D_{gl} admet un anneau versel de déformations R_{gl}. Par définition, l’anneau R_{gl} est un objet de Ĉ tel qu’il existe un morphisme lisse ξ : D_{gl} → Hom_{Λ}(R_{gl}, −) induisant un isomorphisme D_{gl}(k[ε]) ≃ (M_{R_{gl}}/M_{R_{gl}}^{2})^{∗} entre espaces tangents. Le morphisme ξ est identifié à une classe d’équivalence de schéma formel [ξ] = \{[ξ_{n}]\}_{n≥1} ∈ \underleftarrow{lim} D_{gl}(R_{gl}/M_{R_{gl}}^{n}). D’après le théorème d’algébrisation de Grothendieck ([Gr3]), le schéma formel ξ est algébrisable. Ce schéma formel est donc le complété formel d’une courbe C_{gl} sur Spec R_{gl} dite courbe verselle de déformations.

Le premier résultat de ce travail est la description des obstructions pour le foncteur D_{gl}. Nous allons montrer que les obstructions aux déformations G-équivariantes globales sont toutes localisées en un ensemble fini de points formé des points singuliers et des points de ramification sauvage de C (Théorème 4.1.3). C’est pourquoi, nous détaillons dans le paragraphe suivant (§3) l’étude des déformations équivariantes en un voisinage formel d’un point de la courbe C.

3 Déformations équivariantes : cas local

Soit C une courbe vérifiant les hypothèses du paragraphe précédent (§2). Soit x ∈ C et soit Ô_{C,x} l’anneau local complété de la courbe C au point x. Notons G_{x} ⊂ Aut_{k} Ô_{C,x} le stabilisateur de x. Avant d’étudier les déformations G_{x}-équivariantes de C au voisinage (formel) du point x, nous développons brièvement le formalisme de Lichtenbaum et Schlessinger ([LiSc], voir aussi [Vi]) dans le contexte équivariant. Les anneaux sont ici commutatifs et noethériens. Soit B une A-algèbre plate et G ⊂ Aut_{A} B un groupe fini de A-automorphismes de B. Soit A′ → A un homomorphisme d’anneaux surjectif de noyau J tel que J^{2} = 0. Une G-déformation de B/A à A′ est une G-extension B′ (i.e. G agit sur B′)

0 → B ⊗ J → B′ → B → 0

telle que B′ soit plat sur A′. Par souci de clareté, nous commençons par des généralités sur les (B, G)-modules (§3.1), puis nous montrons que les G-déformations de B/A à A′ sont décrites par les groupes Ext_{B,G}^{i}(Ω_{B/A}^{1}, J ⊗ B), i = 1, 2 (Théorème 3.2.2). A l’aide d’un dévissage spectral nous donnons une présentation explicite des groupes Ext_{B,G}^{i}(Ω_{B/A}^{1}, J ⊗_{A} B), i = 1, 2 (§3.3). Nous appliquons enfin ces résultats aux déformations équivariantes locales de la courbe C au point x (§3.4).

3.1 (B, G)-modules

Notons B[G] l’algèbre libre sur B de base (σ)_{σ∈G} avec la relation de commutation σbσ^{−1} = σ(b). Un (B, G)-module M est un B-module muni d’une action de G compatible avec l’action de G dans B :

σ(b · x) = σ(b) · σ(x), b ∈ B, x ∈ M, σ ∈ G

Si M, N sont des (B, G)-modules, alors

Hom_{B,G}(M, N) ≃ Hom_{B}(M, N)^{G}

où Hom_{B}(M, N) est muni d’une action de G définie par σ(f)(x) = σ(f(σ^{−1}(x))), σ ∈ G, f ∈ Hom_{B}(M, N), x ∈ M. Cette propriété justifie l’existence de la suite spectrale ([Gr1] Théorème 5.6.3)

E_{2}^{i,j} = H^{i}(G, Ext_{B}^{j}(M, N)) ⇒ Ext_{B,G}^{i+j}(M, N)

où Ext_{B,G}^{n}(M, N) = R^{n}F (M) la n-ième dérivée à droite du foncteur F = Hom_{B,G}(−, N). Si X est un B-module projectif, alors P = B[G] ⊗_{B} X est un (B, G)-module projectif. En effet pour tout (B, G)-module N,

Hom_{B,G}(B[G] ⊗_{B} M, N) ≃ Hom_{B}(M, N)

Lemme 3.1.1 Il existe un système de variables (X_{α})_{α∈Υ}, une action de G par permutation sur (X_{α})_{α∈Υ} avec ⊕_{α∈Υ}AX_{α} (A, G)-projectif et une surjection de (A, G)-modules

R = A[(X_{α})_{α∈Υ}] ⟶^{𝔭} B

Preuve : Soit V un sous A-module de B, G-stable et qui engendre B comme A-algèbre. Soit P un (A, G)-module libre (donc projectif) de base (Y_{γ})_{γ∈Γ} avec une surjection de (A, G)-module P ↠ V. Cette surjection induit une surjection G-équivariante

R = Sym_{A}(P) ↠ B

Nous pouvons écrire R = A[(X_{α})_{α∈Υ}], où l’ensemble des variables (X_{α})_{α∈Υ} s’obtient en prenant |G| copies Y_{γ,g}, g ∈ G de chaque variable Y_{γ}, γ ∈ Γ. En écrivant α = (γ, g) et g′α = (γ, g′g), l’action de G sur (X_{α})_{α∈Υ} vérifie g · X_{α} = X_{gα} et ⊕_{α∈Υ}AX_{α} est (A, G)- projectif (et même (A, G)-libre).

Soit R = A[(X_{α})_{α∈Υ}] défini par le lemme 3.1.1. Nous notons R = A[X_{α}] lorsqu’aucune confusion n’est possible. Soit I le noyau de 𝔭 : R → B

0 → I → R ⟶^{𝔭} B → 0

Comme les variables X_{α} sont permutées par G, le noyau I est un (R, G)-module. Soit F un (R, G)-module projectif avec une surjection (R, G)-linéaire j : F → I. Notons Q le (R, G)-module noyau de j :

0 → Q → F ⟶^{j} I → 0

Soit F_{0} le sous-R-module de F engendré par les relations j(x)y − j(y)x pour x, y ∈ F. Alors F_{0} est un sous-(B, G)-module et la suite suivante est exacte

0 → Q/F_{0} → F/F_{0} →^{j} R → B → 0  (1)

La donnée d’une suite exacte de ce type est dite G-présentation libre de B/A. Cette présentation du (A, G)-module B est trés utile. Elle permet notamment de définir le complexe cotangent G-équivariant

Q/F_{0} → F ⊗_{R} B → Ω_{R/A}^{1} ⊗_{R} B → 0

où Ω_{R/A}^{1} est le module des différentielles de la A-algèbre R. Lorsque nous oublions la structure de G-module, le complexe précédent s’identifie au complexe cotangent au sens de [LiSc]. Le lemme 3.1.1 permet de suivre les démonstrations de [LiSc] dans le cas G-équivariant et de montrer que la cohomologie du complexe tangent G-équivariant ne dépend pas de la G-présentation libre. Grâce aux deux lemmes suivants, nous identifions la cohomologie du complexe cotangent G-équivariant avec des groupes Ext_{B,G}^{i}.

Lemme 3.1.2 Les (B, G)-modules F ⊗_{R} B et Ω_{R/A}^{1} ⊗_{R} B sont projectifs.

Preuve : Le (R, G)-module projectif F est facteur direct d’un (R, G)-module libre. Le module F ⊗_{B} R est facteur direct d’un (B, G)-module projectif. Donc F ⊗_{R} B est un (B, G)-module projectif. Par définition du module des différentielles, il est facile de montrer l’isomorphisme Géquivariant suivant

Ω_{R/A}^{1} ≃ R ⊗_{A} P

où R = Sym_{A}(P) (avec les notations du lemme 3.1.1) ; l’action de A[G] sur R ⊗_{A} P est l’action diagonale pour les éléments du groupe G étendue linéairement à A[G]. Pour établir la (B, G)-projectivité de Ω_{R/A}^{1} ⊗_{R} B, il suffit donc de voir que (R ⊗_{A} P) ⊗_{R} B est (B, G)-projectif.

D’après [LiSc] Proposition 3.2.1, les suites de (B, G)-modules suivantes sont exactes :

0 → I/I^{2} → Ω_{R/A}^{1} ⊗_{R} B → Ω_{B/A}^{1} → 0  (2)
0 → Q/F_{0} → F ⊗_{R} B → I/I^{2} → 0  (3)

pourvu que B soit une A-algèbre plate réduite essentiellement de type fini d’intersection complète relativement à A. De plus, nous avons alors Ext_{B}^{2}(Ω_{B/A}^{1}, M) pour tout B-module M. Sous ces hypothèses, le lemme 3.1.3 donne une description des deux premiers groupes de cohomologie du complexe cotangent G-équivariant.

Lemme 3.1.3 Supposons que B est une A-algèbre plate réduite essentiellement de type fini d’intersection complète relativement à A. Soit M un (B, G)-module. Alors

Ext_{B,G}^{1}(Ω_{B/A}^{1}, M) ≃ \frac{Hom_{B,G}(I/I^{2}, M)}{Hom_{B,G}(Ω_{R/A}^{1} ⊗_{R} B, M)}

Ext_{B,G}^{2}(Ω_{B/A}^{1}, M) ≃ \frac{Hom_{B,G}(Q/F_{0}, M)}{Hom_{B,G}(F ⊗_{R} B, M)}

Preuve : Comme B est une A-algèbre plate réduite essentiellement de type fini d’intersection complète relativement à A, la suite de (B, G)-module suivante est exacte

0 → I/I^{2} → Ω_{R/A}^{1} ⊗_{R} B → Ω_{B/A}^{1} → 0  (4)

Écrivons la suite exacte longue associée, i ≥ 1

→ Ext_{B,G}^{i}(Ω_{R/A}^{1}⊗B, M) → Ext_{B,G}^{i}(I/I^{2}, M) → Ext_{B,G}^{i+1}(Ω_{B/A}^{1}, M) → Ext_{B,G}^{i+1}(Ω_{R/A}^{1}⊗B, M) →

Comme Ω_{R/A}^{1} ⊗_{A} B est (B, G)-projectif (Lemme 3.1.2), Ext_{B,G}^{i}(Ω_{R/A}^{1} ⊗ B, M) = 0 et

Ext_{B,G}^{i}(I/I^{2}, M) ≃ Ext_{B,G}^{i+1}(Ω_{B/A}^{1}, M), i = 0, 1

Les suites exactes de (B, G)-modules (4) et

0 → Q/F_{0} → F ⊗_{R} B → I/I^{2} → 0

et le fait que les (B, G)-modules F ⊗_{R} B et Ω_{R/A}^{1} ⊗_{A} B sont projectifs (Lemme 3.1.2) permettent alors de conclure.

3.2 Déformations équivariantes d’algèbres

Soit A′ → A un homomorphisme d’anneaux surjectif de noyau J tel que J^{2} = 0. Rappelons qu’une G-déformation de B/A à A′ est une G-extension B′

0 → B ⊗_{A} J → B′ → B → 0

telle que B′ soit plat sur A′. Rappelons aussi le critère local de platitude ([Gr2])

Lemme 3.2.1 Un A′-module B′ est plat sur A′ si et seulement les deux conditions suivantes sont satisfaites i. B = B′ ⊗_{A′} A est plat sur A ii. J ⊗_{A} B → B′ est injective.

Considérons une présentation libre G-équivariante

B = A[(X_{α})_{α∈Υ}]/I = A[(x_{α})_{α∈Υ}] I = ((f_{γ})_{γ∈Γ})

avec σ(x_{α}) = x_{σ(α)} et σ(f_{γ}) = f_{σ(γ)} pour tout α ∈ Υ, γ ∈ Γ et σ ∈ G. L’action de G sur A′[X_{α}] et A[X_{α}] est l’action induite par σ(X_{α}) = X_{σ(α)} et la surjection naturelle A′[X_{α}] → A[X_{α}] est G-équivariante. Notons f′_{γ}, la relation f_{γ} ∈ A[X_{α}] vue comme élément de A′[X_{α}]. Écrivons J = ∑_{λ∈Λ} A′t_{λ} et B = A′[X_{α}]/I′. Ainsi ((f′_{γ})_{γ∈Γ}, (t_{λ})_{λ∈Λ}) est un système de générateurs G-stables de I′ comme (A′, G)-module :

B = A′[X_{α}]/(f′_{γ}, t_{λ})

Soit (V_{γ})_{γ∈Γ} (resp. (T_{λ})_{λ∈Λ}) un système de variables G-stables (pour l’action de G relevée à I′) indépendantes et soit

R = A[X_{α}], F = ⊕_{γ∈Γ}RV_{γ}, R′ = A′[X_{α}], F′ = (⊕_{γ∈Γ}R′V_{γ}) ⊕ (⊕_{λ∈Λ}R′T_{λ})

Nous avons donc une G-présentation libre de B/A (resp. de B/A′) :

0 → Q/F_{0} → F/F_{0} → R → B → 0
0 → Q′/F′_{0} → F′/F′_{0} → R′ → B → 0

L’obstruction aux G-déformations de B/A à A′ est

obs_{B/A}(A′) = [θ] ∈ \frac{Hom_{B,G}(Q/F_{0}, J ⊗_{A} B)}{Hom_{B,G}(F ⊗_{R} B, J ⊗_{A} B)} ≃ Ext_{B,G}^{2}(Ω_{B/A}^{1}, J ⊗_{A} B)

où θ : Q/F_{0} → J ⊗_{A} B est définie comme suit : un élément de Q est une relation entre les f_{γ} dans A[X_{α}] :

∑_{γ∈Γ} a_{γ}f_{γ} = 0, a_{γ} ∈ A

Relevons cette équation à Q′ modulo F_{0}

∑_{λ∈Λ} g_{λ}t_{λ} + ∑_{γ∈Γ} a_{γ}f′_{γ} = 0 dans A′[X_{α}]

L’application θ est définie par

θ : Q/F_{0} → J ⊗_{A} B, θ(∑_{γ∈Γ} a_{γ}f_{γ}) = ∑_{λ∈Λ} g_{λ}(t_{λ} ⊗ 1)

Le théorème suivant montre que l’élément obs_{B/A}(A′) s’idenfie effectivement à une obstruction au sens suivant :

Théorème 3.2.2 Soit A′ → A une petite surjection de noyau J. Soit B une A-algèbre plate réduite essentiellement de type fini d’intersection complète relativement à A. Soit G un groupe fini de A-automorphismes de B. i. Alors B/A admet une G-déformation à A′ si et seulement si

obs_{B/A}(A′) ∈ Ext_{B,G}^{2}(Ω_{B/A}^{1}, J ⊗_{A} B)

est nulle. ii. Si obs_{B/A}(A′) = 0, l’ensemble des G-déformations de B/A à A′ est un torseur sous Ext_{B,G}^{1}(Ω_{B/A}^{1}, J ⊗_{A} B).

Preuve : i. Supposons que obs_{B/A}(A′) = 0. Cela signifie que θ est induite par une application (B, G)-linéaire

θ_{0} : ⊕_{γ∈Γ}BV_{γ} → J ⊗_{A} B, V_{γ} ↦ ∑_{λ∈Λ} t_{λ} ⊗ ϕ_{γ,λ}

Pour construire une déformation G-équivariante de B/A à A′, cherchons une perturbation des équations (f′_{γ}) de la forme

f′_{γ} + ψ_{γ}, ψ_{γ} ∈ JA′[X_{α}]

de telle façon que

B′ = A′[X_{α}]/(f′_{γ} + ψ_{γ})

soit une G-déformation de B/A : B′ doit être muni d’une action de G et B′ doit être plat sur A. Choississons ψ_{γ} = ∑_{λ∈Λ} t_{λ}ϕ_{γ,λ}. Montrons que B′ est alors plat sur A. D’après le critère de platitude 3.2.1, il suffit de montrer que J ⊗ B′ → B′ est injective. Soit ∑_{λ∈Λ} t_{λ} ⊗ b̄_{λ} ∈ J ⊗_{A′} B′, avec b̄_{λ} ∈ A′[X_{α}]/(f′_{γ} + ψ_{γ}) et b_{λ} un relevé dans A′[X_{α}]. Dire que l’image de ∑_{λ∈Λ} t_{λ} ⊗ b̄_{λ} est nulle par J ⊗_{A′} B′ → B′, signifie qu’il existe c_{γ} ∈ A′[X_{α}] tels que

∑_{λ∈Λ} t_{λ}b_{λ} = ∑_{γ∈Γ} c_{γ}(f′_{γ} + ψ_{γ})

Donc ∑_{λ∈Λ} t_{λ}b_{λ} − ∑_{γ∈Γ} c_{γ}(f′_{γ} + ψ_{γ}) ∈ Q′. D’où en notant encore b_{λ} (resp. c_{γ}) l’image de b_{λ} (resp. c_{γ}) dans A[X_{α}],

θ(∑_{γ∈Γ} c_{γ}f_{γ}) = ∑_{λ∈Λ} b_{λ}(t_{λ} ⊗ 1) + ∑_{γ∈Γ,λ∈Λ} ϕ_{γ,λ}c_{γ}(t_{λ} ⊗ 1)

Or θ(∑_{γ∈Γ} c_{γ}f_{γ}) = ∑_{γ∈Γ} ϕ_{γ}c_{γ} donc ∑ b_{λ}(t_{λ} ⊗ 1) = 0 et J ⊗ B′ → B′ est injective. En utilisant la (B, G)-linéarité de θ_{0}, nous vérifions que l’action de G est bien définie sur B′.

Réciproquement si B′ = A′[X_{α}]/(f′_{γ}+ψ_{γ}) est une G-déformation de B/A à A′. Écrivons ψ_{γ} = ∑_{λ∈Λ} t_{λ}ϕ_{γ,λ}. Alors tout élément ∑_{γ∈Γ} a_{γ}f_{γ} de Q se relève à Q′ modulo F_{0} sous la forme ∑_{γ∈Γ} a_{γ}(f′_{γ} + ψ_{γ}). Donc l’application θ est définie par

θ : Q/F_{0} → J ⊗_{A} B, θ(∑_{γ∈Γ} a_{γ}f_{γ}) = ∑_{λ∈Λ,γ∈Γ} ϕ_{γ,λ}(t_{λ} ⊗ 1)

Cette application est induite par l’application θ_{0} : ⊕_{γ∈Γ}BV_{γ} → J ⊗_{A} B, V_{γ} ↦ ∑_{λ∈Λ} t_{λ} ⊗ ϕ_{γ,λ} qui est (B, G)-linéaire car B′ est une G-déformation de B/A à A′. D’où obs_{B/A}(A′) = 0.

ii. Soit B′ une G-déformation de B/A à A′, B′ = A′[X_{α}]/(f′_{γ}). Toute déformation de B/A à A′ peut s’écrire

A′[X_{α}]/(f′_{γ} + ϕ_{γ}) ϕ_{γ} ∈ JA′[X_{α}]

où (ϕ_{γ}) est une famille G-stable. La condition de platitude implique que l’application ϕ̄: I/I^{2} → J ⊗_{A} B induite par f_{γ} ↦ ϕ̄_{γ} est (B, G)-linéaire. Réciproquement soit

[ϕ̄] ∈ \frac{Hom_{B,G}(Q/F_{0}, M)}{Hom_{B,G}(F ⊗_{R} B, M)} ≃ Ext_{B,G}^{1}(Ω_{B,G}^{1}, J ⊗_{A} B)

admettant ϕ : I/I^{2} → J ⊗_{A} B, f_{γ} ↦ ϕ̄_{γ} comme représentant. Soit ϕ_{γ} un relèvement de ϕ̄_{γ} à JA′[X_{α}]. Alors A′[X_{α}]/(f′_{γ} + ϕ_{γ}) est une G-déformation de B/A à A′. Donc l’ensemble des G-déformations de B/A à A′ est un torseur sous Ext_{B,G}^{1}(Ω_{B/A}^{1}, J ⊗_{A} B).

3.3 Dévissage spectral des groupes Ext_{B,G}^{i}(Ω_{B/A}, M)

Soit M un (B, G)-module. Nous supposons, comme dans §3.2, que B est une A-algèbre plate réduite essentiellement de type fini d’intersection complète relativement à A. Considérons la suite spectrale

E_{2}^{p,q} = H^{p}(G, Ext_{B}^{q}(Ω_{B/A}^{1}, M)) ⇒ Ext_{B,G}^{p+q}(Ω_{B/A}^{1}, M)  (5)

Précisons les suites exactes de bas degrés associées à cette suite spectrale.

Lemme 3.3.1 La suite suivante est exacte

0 → H^{1}(G, Θ) → Ext_{B,G}^{1}(Ω_{B/A}^{1}, M) → H^{0}(G, Ext_{B}^{1}(Ω_{B/A}^{1}, M)) → H^{2}(G, Θ) (6)

où Θ = Hom_{B}(Ω_{B/A}^{1}, M).

Preuve : La filtration sur l’aboutissement de la suite spectrale (5), conduit à la suite exacte

0 → E_{∞}^{1,0} → Ext_{B,G}^{1}(Ω_{B/A}^{1}, M) → E_{∞}^{0,1} → 0  (7)

Il est immédiat que E_{∞}^{1,0} = E_{2}^{1,0} = H^{1}(G, Hom_{B}(Ω_{B/A}^{1}, M)) et que E_{∞}^{0,1} = E_{3}^{0,1} = ker (H^{0}(G, Ext_{B}^{1}(Ω_{B/A}^{1}, M)) → H^{2}(G, Hom_{B}(Ω_{B/A}^{1}, M))). En identifiant les termes de la suite (7), nous obtenons le résultat annoncé.

Lemme 3.3.2 La suite suivante est exacte

H^{0}(G, Ext_{B}^{1}(Ω_{B/A}^{1}, M)) → H^{2}(G, Θ) → Ext_{B,G}^{2}(Ω_{B/A}^{1}, M)
→ H^{1}(G, Ext_{B}^{1}(Ω_{B/A}^{1}, M)) → H^{3}(G, Θ)

où Θ = Hom_{B}(Ω_{B/A}^{1}, M).

Preuve : D’après la suite spectrale (5), nous avons la filtration décroissante

Ext_{B,G}^{2}(Ω_{B/A}^{1}, M) = F^{0} ⊃ F^{1} ⊃ F^{2} ⊃ 0

Avec les hypothèses sur l’algèbre B, nous avons F^{0}/F^{1} = 0 car Ext_{B}^{2}(Ω_{B/A}^{1}, M) = 0. Il est facile de montrer que

F^{1}/F^{2} = E_{∞}^{1,1} = E_{3}^{1,1} = ker (H^{1}(G, Ext_{B}^{1}(Ω_{B/A}^{1}, M)) → H^{3}(G, Hom_{B}(Ω_{B/A}^{1}, M)))

Enfin F^{2} = E_{∞}^{2,0} est le conoyau de E_{2}^{0,1} → E_{2}^{2,0}, ce qui, compte tenu de l’identification de ces termes, conduit à la suite exacte annoncée.

3.4 Déformations équivariantes locales

Revenons aux déformations G-équivariantes locales au point x ∈ C. Comme C est une k-courbe génériquement lisse localement d’intersection complète, O_{x} = Ô_{C,x} est une kalgèbre d’intersection complète (plate) génériquement lisse et formellement de type fini. Le formalisme précédent (§3.2) s’applique à cette situation. Notons G_{x} le stabilisateur de x. Le foncteur des déformations G_{x}-équivariantes au point x est

D_{x} : C → Ens, A ↦ {G_{x}-déformations de la k-algèbre O_{x}}

Le théorème 3.2.2 s’adaptent au cas où O_{x} est formellement de type fini sur k en prenant le module des différentielles complété Ω̂_{O_{x}/k}^{1}. Les obstructions aux déformations appartiennent au groupe Ext_{O_{x},G}^{2}(Ω̂_{O_{x}/k}^{1}, O_{x}). L’existence de la déformation triviale de O_{x}/k à k[ε] montre que obs_{O_{x}/k}(k[ε]) = 0. Nous avons donc l’isomorphisme

D_{x}(k[ε]) ≃ Ext_{O_{x},G}^{1}(Ω̂_{O_{x}/k}^{1}, O_{x})

Les hypothèses du critère de Schlessinger ([Sc] §3.7) étant satisfaites, le foncteur des déformations G_{x}-équivariantes au point x admet donc un anneau versel R_{x} de déformations. L’objet du paragraphe suivant est de montrer que l’anneau versel R_{gl} de déformations Géquivariantes globales de C ne dépend que des anneaux versels de déformations aux points singuliers et aux points de ramification sauvage de C (Théorème 4.1.3).

4 Principe local-global

4.1 Énoncé du principe local-global

Soit y_{1}, …, y_{r} les images des points singuliers et des points de ramification sauvage de C → C/G. Pour 1 ≤ i ≤ r, notons x_{i} un point au-dessus de y_{i} et G_{x_{i}} son stabilisateur (éventuellement trivial pour un point singulier). Définissons le foncteur des déformations G-équivariantes locales

D_{loc} = ∏_{1≤i≤r} D_{x_{i}}

où D_{x_{i}} est le foncteur des déformations G_{x_{i}}-équivariantes au point x_{i} (voir §3.4). Le choix du point x_{i} est sans importance, car si nous changeons x_{i} en autre point x′_{i} de son orbite sous G, nous obtenons un foncteur D_{G_{x′_{i}}} isomorphe à D_{G_{x_{i}}}. Par localisation en ces points, nous définissons un morphisme

ϕ : D_{gl} → D_{loc}

qui à une déformation G-équivariante globale de C à A objet de C associe les déformations G_{x_{i}}-équivariantes aux points x_{i}, 1 ≤ i ≤ r à A. D’après §3.4, l’espace tangent (resp. le groupe d’obstruction) au foncteur D_{loc} est ∏_{1≤i≤r} Ext_{O_{x_{i}},G_{x_{i}}}^{j} (Ω̂_{O_{x_{i}}/k}^{1}, O_{x_{i}}) pour j = 1 (resp. j = 2).

Notons π : C → C/G et pour F un (G, O_{C})-module, π_{∗}^{G}(F) le faisceau sur C/G défini par π_{∗}^{G}(F)(V) = Γ(π^{−1}(V), F)^{G}, pour V ouvert de C/G. Le foncteur exacte à gauche

Hom_{O_{C},G}(Ω_{O_{C},G}^{1}, −) = π_{∗}^{G}(Hom_{O_{C},G}(Ω_{O_{C},G}^{1}, −))

définit par dérivation les faisceaux sur C/G

Ext_{O_{C},G}^{n}(Ω_{O_{C},G}^{1}, O_{C}), n ∈ N

D’après [Gr1] 5.6.9, la fibre en un point y = π(x) ∈ C/G de Ext_{O_{C},G}^{n}(Ω_{O_{C},G}^{1}, O_{C}) est

Ext_{O_{C},G}^{n}(Ω_{C/k}^{1}, O_{C})_{y=π(x)} ≃ Ext_{O_{x},G_{x}}^{n}({ \atop (Ω_{C/k}^{1})_{x}}, O_{x})  (8)

Grothendieck établit également l’existence d’une suite spectrale ([Gr1] Théorème 5.6.3)

E_{2}^{p,q} = H^{p}(C/G, Ext_{O_{C},G}^{q}(Ω_{O_{C}/k}^{1}, O_{C})) ⟹ Ext_{O_{C},G}^{p+q}(Ω_{O_{C}/k}^{1}, O_{C})  (9)

Lemme 4.1.1 L’application

Ext_{O_{C},G}^{1}(Ω_{O_{C}/k}^{1}, O_{C}) → ∏_{1≤i≤r} Ext_{O_{x_{i}},G_{x_{i}}}^{1} (Ω̂_{O_{x_{i}}/k}, O_{x_{i}})

est surjective de noyau H^{1}(C/G, Hom_{O_{C},G}(Ω_{O_{C}/k}^{1}, O_{C})).

Preuve : Considérons la suite spectrale (9) en degré total p + q = 1. En constatant que E_{2}^{2,0} = H^{2}(C/G, Hom_{O_{C},G}(Ω_{O_{C}/k}^{1}, O_{C})) = 0, E_{2}^{0,1} = E_{∞}^{0,1} et E_{2}^{1,0} = E_{∞}^{1,0}, nous obtenons la suite exacte

0 → H^{1}(C/G, Hom_{O_{C},G}(Ω_{O_{C}/k}^{1}, O_{C})) → Ext_{O_{C},G}^{1}(Ω_{O_{C}/k}^{1}, O_{C})
→ H^{0}(C/G, Ext_{O_{C},G}^{1}(Ω_{O_{C}/k}^{1}, O_{C})) → 0  (10)

Le faisceau Ext_{O_{C},G}^{1}(Ω_{O_{C}/k}^{1}, O_{C}) est à support dans {y_{1}, …, y_{r}}. D’après (8), nous avons donc

H^{0}(C/G, Ext_{O_{C},G}^{1}(Ω_{O_{C}/k}^{1}, O_{C})) ≃ ∏_{1≤i≤r} Ext_{O_{x_{i}},G_{x_{i}}}^{1} (Ω̂_{O_{x_{i}}/k}^{1}, O_{x_{i}})

Le lemme découle alors de l’identification de ce terme dans la suite exacte (10).

Le noyau ker ϕ du morphisme de foncteurs ϕ : D_{gl} → D_{loc} s’interprète en égale caractéristique comme le foncteur des déformations localement triviales : soit A un k-espace vectoriel de C. Une déformation G-équivariante globale de C à A est localement triviale si pour tout point x_{i}, 1 ≤ i ≤ r la déformation G_{x_{i}}-équivariante induite est la déformation triviale. Le groupe H^{1}(C/G, Hom_{O_{C},G}(Ω_{O_{C}/k}, O_{C})) s’interprète alors comme l’espace tangent au foncteur ker ϕ.

Lemme 4.1.2 Les groupes d’obstructions aux foncteurs D_{gl} et D_{loc} sont isomorphes.

Preuve : Considérons le terme de degré total p+q = 2 de la suite spectrale (9). Le terme E_{2}^{2,0} est nul (voir preuve du lemme 4.1.1). Comme Ext_{O_{C},G}^{1}(Ω_{O_{C}/k}^{1}, O_{C}) est à support fini, E_{2}^{1,1} = H^{1}(C/G, Ext_{O_{C},G}^{1}(Ω_{O_{C}/k}^{1}, O_{C})) = 0 ; nous obtenons l’isomorphisme

Ext_{O_{C},G}^{2}(Ω_{O_{C}/k}^{1}, O_{C}) ⟶^{∼} H^{0}(C/G, Ext_{O_{C},G}^{2}(Ω_{O_{C}/k}^{1}, O_{C}))

Le faisceau Ext_{O_{C},G}^{2}(Ω_{O_{C}/k}^{1}, O_{C}) est à support dans {y_{1}, …, y_{r}}. Donc, d’après (8), H^{0}(C/G, Ext_{O_{C},G}^{2}(Ω_{O_{C}/k}^{1}, O_{C})) ≃ ∏_{1≤i≤r} Ext_{O_{x_{i}},G_{x_{i}}}^{2} (Ω̂_{O_{x_{i}}/k}, O_{x_{i}}) et l’isomorphisme annoncé

Ext_{O_{C},G}^{2}(Ω_{O_{C}/k}^{1}, O_{C}) ⟶^{∼} ∏_{1≤i≤r} Ext_{O_{x_{i}},G_{x_{i}}}^{2} (Ω̂_{O_{x_{i}}/k}, O_{x_{i}})

Avec les lemmes 4.1.2 et 4.1.1, la preuve du principe local-global suivant est formellement identique à celle du théorème 3.3.4 [BeMé].

Théorème 4.1.3 Le morphisme ϕ : D_{gl} → D_{loc} est lisse.

En termes d’anneaux versels de déformations, le théorème 4.1.3 s’exprime de la façon suivante:

Corollaire 4.1.4 Soit R_{i} l’anneau versel de déformations de D_{x_{i}} et R_{gl} l’anneau versel de déformations de D_{gl}. Alors

R_{gl} = (R_{1} ˆ⊗ ⋯ ˆ⊗R_{r})[[U_{1}, …, U_{N}]]

avec N = dim_{k} H^{1}(C/G, Hom_{O_{C},G}(Ω_{O_{C}/k}^{1}, O_{C})).

4.2 Revêtements et épaississements des revêtements galoisiens

Comme application immédiate du principe local-global (Corollaire 4.1.4) nous obtenons le résultat suivant concernant le relèvement en caractéristique zéro (voir [He]). Les notations sont les mêmes que dans le paragraphe précédent (§4.1).

Théorème 4.2.1 Soit R un anneau de valuation discrète complet qui domine W (k). Le revêtement galoisien C → C/G admet un relèvement à R si et seulement si pour tout point x ∈ C avec groupe d’inertie G_{x} non trivial, l’action de G_{x} sur Ô_{C,x} se relève à R.

Preuve : Supposons que la courbe C admette un relèvement C′ équivariant à R. Alors l’action de G_{x} sur Ô_{C,x} se relève en une action de G_{x} sur Ô_{C′,x}. Réciproquement C étant une courbe projective, la déformation équivariante de C est algébrisable ([Gr3]). Pour obtenir un relèvement équivariant de C à R, il suffit donc d’avoir un morphisme d’anneaux locaux R_{gl} → R. D’après la structure de R_{gl} (Corollaire 4.1.4), il suffit d’avoir des morphismes R_{i} → R, 1 ≤ i ≤ r. Ces morphismes existent car, par hypothèse, en tout point x de C, l’action de G_{x} sur Ô_{C,x} se relève.

Nous pouvons espérer retrouver de même les théorèmes d’épaississement d’Harbater et Stevenson ([HaSt]) qui sont en fait des résultats de déformations équivariantes en égale caractéristique. Pour obtenir ces théorèmes, il faut se limiter aux épaississements à k[[T]], comme dans [HaSt], pour pouvoir utiliser des résultats de rigidité d’Artin et Hironoka-Rossi (voir [Ar2]).

5 Déformations G-équivariantes des courbes semi-stables

Nous supposons dorénavant que C est une k-courbe semi-stable. Rappelons qu’une courbe semi-stable est une courbe réduite connexe dont les points singuliers sont des points doubles ordinaires. L’objet de ce paragraphe est la description des espaces tangents aux foncteurs des déformations G-équivariantes locales et globales de C.

5.1 Déformations G-équivariantes du point double

Soit x ∈ C un point double. Alors

O = Ô_{C,x} ≃ \frac{k[[x, y]]}{(xy)}

Le groupe d’inertie G_{x} au point x est un groupe fini d’automorphisme G_{x} ⊂ Aut O. Lorsqu’aucune confusion n’est possible, nous notons G pour G_{x}. Nous allons interpréter en termes de déformations la suite exacte (6) décrivant l’espace tangent aux déformations G_{x}-équivariantes du point double D_{O,G}(k[ε]) ≃ Ext_{O,G}^{1}(Ω̂_{O/k}^{1}, O). Commençons par une remarque sur les automorphismes de \frac{A[[x,y]]}{(xy−a)} pour A un objet de C et a ∈ M_{A}.

Lemme 5.1.1 Soit Δ(x, y) = xy − a. Pour tout F ∈ A[[x, y]] il existe un écriture unique sous la forme

F (x, y) = H(x, y)Δ(x, y) + ϕ(x) + ψ(y)

avec H ∈ A[[x, y]], ϕ ∈ A[[x]] et ψ ∈ A[[y]].

Preuve : L’existence d’une telle écriture est claire. Pour établir l’unicité soit H(x, y) = ∑_{p,q∈N} h_{p,q}x^{p}y^{q} ∈ A[[x, y]] tel que H(x, y)Δ(x, y) = ϕ(x) + ψ(y). Alors

∑_{p,q∈N} h_{p,q}x^{p+1}y^{q+1} − ∑_{p,q∈N} ah_{p,q}x^{p}y^{q} = ϕ(x) + ψ(y)

Donc pour tout p, q ∈ N, h_{p,q} = ah_{p+1,q+1}. Par récurrence, pour tout l > 0 h_{p,q} = a^{l}h_{p+l,q+l}. Comme l’anneau A est séparé pour la topologie M_{A}-adique, h_{p,q} = 0, p, q ∈ N, H = 0.

Soit σ ∈ G un automorphisme de O qui préserve les branches. D’après le lemme 5.1.1, il est défini par linéarité par

σ(x) = xU(x), σ(y) = yV (y), avec U(x) = ∑_{i≥0} U_{i}x^{i}, V (y) = ∑_{i≥0} V_{i}y^{i}

Pour étudier D_{O,G}(k[ε]), décrivons les relèvements de σ à \frac{k[ε][[x,y]]}{(xy−tε)}. Un tel relèvement σ̃ s’écrit

σ̃(x) = xŨ(x) + tεS(y), σ̃(y) = yṼ (y) + tεT (x)

avec S(y) ∈ k[[y]], T (x) ∈ k[[x]], Ũ(x) ∈ k[ε][[x]], Ṽ (y) ∈ k[ε][[y]] tels que modulo (t), Ũ(x) ≡ U(x) et Ṽ (y) ≡ V (y). De plus l’automorphisme σ̃ doit satisfaire σ̃(xy − tε) ⊂ (xy − tε). Or

σ̃(xy − tε) = (xŨ(x) + tεT (y))(yṼ (y) + tεS(x)) − tε

Modulo (xy − tε) nous obtenons σ̃(xy − tε) ≡

tε(U_{0}V_{0} − 1) + xtε(U(x)S(x) + V_{0} ∑_{i≥0} U_{i+1}x^{i}) + ytε(V (y)T (y) + U_{0} ∑_{i≥0} V_{i+1}y^{i}) (11)

D’où

Lemme 5.1.2 L’automorphisme σ se relève en un automorphisme σ̃ de \frac{k[ε][[x,y]]}{(xy−tε)} si et seulement si t = 0 ou si U_{0}V_{0} = 1.

Preuve : Supposons t ≠ 0, d’après (11) la condition U_{0}V_{0} = 1 est nécessaire. Elle est suffisante car l’automorphisme σ̃ défini par

S(x) = \frac{−V_{0} ∑_{i≥0} U_{i+1}x^{i}}{U(x)} , T (x) = \frac{−U_{0} ∑_{i≥0} V_{i+1}y^{i}}{V (y)} et Ũ(x) = U(x), Ṽ (y) = V (y)

est un relèvement de σ à \frac{k[ε][[x,y]]}{(xy−tε)} (U(x) et V (y) sont inversibles car U_{0}V_{0} = 1).

Remarque 5.1.3 Supposons que les hypothèses du lemme 5.1.2 soient satisfaites. Alors il existe σ̃ un relèvement de σ à \frac{k[ε][[x,y]]}{(xy−tε)}. Un autre relèvement σ̃′ de σ s’obtient à partir de σ̃ par

σ̃′(x) = σ̃(x) + tεxU′(x), σ̃′(y) = σ̃(y) + tεyV′(y)

pour U′(x) ∈ k[[x]], V′(y) ∈ k[[y]].

Remarque 5.1.4 Si le groupe d’inertie est un p-groupe, la condition U_{0}V_{0} = 1 est toujours satisfaite. Dans le cas modéré cette condition correspond à l’hypothèse sous laquelle il est possible de lissifier l’action (modérée) de G ([Ek],[Sa]). Nous verrons (§5.2) que cette hypothèse revient à supposer que l’action de G est triviale sur l’espace tangent aux deformations infinitésimales du point double.

5.2 Déformations infinitésimales du point double

Un relèvement de O à A est la donnée d’une A-algèbre plate R avec un morphisme R ⟶^{α} R ⊗_{A} k ≃ O. Une déformation de O à A est une classe d’équivalence de tels relèvements : R et R′ sont équivalents s’il existe un A-isomorphisme ϕ : R ⟶^{∼} R′ avec

\begin{matrix}R & \overline{\begin{matrix}ϕ \\ ∼ \end{matrix} →} & R′ \\ O & \frac{←}{α′} & ^{α →} \end{matrix}

Par définition le foncteur des déformations infinitésimales du point double est

F : C → Ens, A ↦ {déformations de O à A}

D’après [DeMu], ce foncteur des déformations infinitésimales du point double a une déformation effective à l’anneau versel \frac{W (k)[[x,y,t]]}{(xy−t)} : toute déformation à A objet de C est isomorphe à la classe d’équivalence de (\frac{A[[x,y]]}{(xy−a)}, α), pour un a ∈ M_{A}, l’application α étant induite par l’application canonique A → A/M_{A} ≃ k. L’espace tangent au foncteur F est ([Ar1])

F (k[ε]) ≃ Ext_{O}^{1}(Ω̂_{O/k}^{1}, O) ≃ k

Étudions l’action de G sur Ext_{O/k}^{1}(Ω̂_{O/k}^{1}, O). Une déformation de k[[x, y]]/(xy) à k[ε] est une classe d’équivalence de relèvement de la forme

O_{h} = k[ε][[x, y]]/(xy − εh(x, y)) h(x, y) ∈ k[[x, y]]

Deux relèvements O_{h} et O_{h′} sont équivalents si h(0, 0) = h′(0, 0). Il suffit donc de considérer les relèvements de la forme

O_{t} = k[ε][[x, y]]/(xy − tε), t ∈ k

Le groupe G agit sur l’espace tangent des déformations infinitésimales du point double Ext_{O}^{1}(Ω̂_{O/k}^{1}, O). L’action sur [O_{t}, α_{t} : O_{t} → O] est définie par

σ[O_{t}, α_{t}] = [O_{t}, σα_{t}], σ ∈ G

Supposons que l’action de G préserve les branches. Un élément σ ∈ G vu comme automorphisme de O s’écrit

σ(x) = xU(x), σ(y) = yU(y) avec U(x) = ∑_{i≥0} U_{i}x^{i}, V (y) = ∑_{i≥0} V_{i}y^{i}

Comme σ(xy−tε) = U_{0}V_{0}(xy−U_{0}^{−1}V_{0}^{−1}tε)+ termes de plus haut degré, σ agit sur l’espace tangent par la multiplication par (U_{0}V_{0})^{−1}. L’hypothèse du lemme 5.1.2 consiste donc à supposer que l’action de G sur Ext_{O}^{1}(Ω̂_{O/k}, O) est triviale. Dorénavant, nous supposons que l’action de G préserve les branches et est triviale sur l’espace tangent.

5.3 Interprétation du dévissage spectral

Nous donnons une interprétation en termes de déformations de la suite exacte décrivant l’espace tangent Ext_{O,G}^{1}(Ω_{O/k}, O) (Lemme 3.3.1)

0 → H^{1}(G, Θ) → Ext_{O,G}^{1}(Ω̂_{O/k}^{1}, O) → H^{0}(G, Ext_{O}^{1}(Ω̂_{O/k}^{1}, O)) → H^{2}(G, Θ)

où Θ = Hom_{O}(Ω̂_{O/k}^{1}, O). D’après §5.2, Ext_{O}^{1}(Ω̂_{O/k}, O) est l’espace tangent au foncteur des déformations infinitésimales du point double. Comme l’action de G est supposée triviale H^{0}(G, Ext_{O}^{1}(Ω̂_{O/k}^{1}, O)) ≃ Ext_{O}^{1}(Ω̂_{O/k}, O). Pour interpréter le terme H^{1}(G, Θ), introduisons G_{x}, G_{y} les restrictions de G sur les branches respectives de paramètres x et y. Alors

Lemme 5.3.1 Comme G-module,

Θ ≃ xk[[x]]\frac{∂}{∂x} ⊕ yk[[y]]\frac{∂}{∂y}

où k[[x]]\frac{∂}{∂x} (resp. k[[y]]\frac{∂}{∂y}) est le k[[x]]-module (resp. le k[[y]]-module) des champs de vecteurs formels sous G_{x} (resp. G_{y}).

Preuve : Par définition Θ = Hom_{O}(Ω̂_{O/k}^{1}, O). Or

Ω̂_{O/k}^{1} ≃ \frac{k[[x, y]]dx ⊕ k[[x, y]]dy}{(xdy + ydx)}

Donc

Θ = \{p\frac{∂}{∂x} + q \frac{∂}{∂y} , p, q ∈ O, yp(x, y) + xq(x, y) = 0\}

Écrivons p(x, y) = p_{1}(x) + p_{2}(y), q(x, y) = q_{1}(x) + q_{2}(y) avec p_{2}(0) = q_{1}(0) = 0. Alors

yp(x, y) + xq(x, y) = yp_{1}(x) + yp_{2}(y) + xq_{1}(x) + xq_{2}(y) = 0 ∈ \frac{k[[x, y]]}{(xy)}

Ainsi p_{2}(y) et q_{1}(x) sont constants, donc nuls ; et p_{1}(0) = q_{2}(0) = 0. D’où p ∈ xk[[x]] et q ∈ yk[[y]].

Remarque 5.3.2 Rappelons que dans le cas d’un point x régulier, les déformations G_{x}- équivariantes ont pour espace tangent H^{1}(G_{x}, k[[x]]\frac{d}{dx}). Il est donc naturel d’interpréter le terme H^{1}(G, Θ) comme la contribution des déformations équivariantes de chacune des branches aux déformations équivariantes du point double.

Pour tout σ ∈ G, notons

σ(x) = f_{σ}(x) = xU_{σ}(x) = x ∑_{i≥0} U_{σ,i}x^{i}, σ(y) = g_{σ}(y) = yV_{σ}(y) = y ∑_{i≥0} v_{σ,i}y^{i}

vu comme élément de Aut(k[[x, y]]/(xy)). Soit α_{σ} = \frac{V_{σ,0}}{U_{σ,0}} U_{σ,1} β_{σ} = \frac{U_{σ,0}}{V_{σ,0}} V_{σ,1} pour σ ∈ G. Définissons [c_{1}] ∈ H^{2}(G, Θ) comme la classe de c_{1} : G^{2} → Θ, avec

c_{1}(σ, τ) = (\frac{β_{στ}}{f′_{στ} (x)} − σ(\frac{β_{τ}}{f′_{τ} (x)}) − \frac{β_{σ}}{f′_{σ}(x)})\frac{∂}{∂x} + (\frac{α_{στ}}{g′_{στ} (y)} − σ(\frac{α_{τ}}{g′_{τ} (y)}) − \frac{α_{σ}}{g′_{σ}(y)})\frac{∂}{∂y}

Lemme 5.3.3 Le morphisme Ext_{O}^{1}(Ω̂_{O/k}^{1}, O) → H^{2}(G, Θ) est nul si et seulement si la classe [c_{1}] est nulle dans H^{2}(G, Θ).

Preuve : Comme G → Aut k[[x, y]]/(xy) est un homomorphisme de groupe, f_{στ} (x) = f_{τ} (f_{σ}(x)) et g_{στ} (x) = g_{τ} (g_{σ}(x)). Un relèvement σ̃ de σ à \frac{k[ε][[x,y]]}{(xy−tε)}, t ≠ 0, s’écrit (Lemme 5.1.2)

σ̃(x) = f_{σ}(x) + tεT_{σ}(y), avec T_{σ}(y) = \frac{−U_{σ,0} ∑_{i≥0} V_{σ,i+1}y^{i}}{V_{σ}(y)}

σ̃(y) = g_{σ}(y) + tεS_{σ}(x) avec S_{σ}(y) = \frac{−V_{σ,0} ∑_{i≥0} U_{σ,i+1}x^{i}}{U_{σ}(x)}

vu comme élément de Aut k[ε][[x, y]]. Pour avoir un relèvement de G à Aut k[ε][[x, y]]/(xy− tε) nous devons vérifier que le 2-cocycle c_{1}(σ, τ) défini par l’égalité σ̃τ̃ ≡ c_{1}(σ, τ)σ̃τ (xy−tε) est un 2-cobord. Écrivons

c_{1}(σ, τ)(x) = x + tεϕ_{σ,τ} (x), c_{1}(σ, τ)(y) = y + tεψ_{σ,τ} (y)

Nous avons

σ̃τ̃(x) = σ̃(f_{τ} (x) + tεT_{τ} (y)) = f_{τ} (f_{σ}(x) + tεT_{σ}(y)) + tεT_{τ} (g_{σ}(y))
σ̃τ̃(x) = f_{στ} (x) + tε(f′_{τ} (f_{σ}(x))T_{σ}(y) + T_{τ} (g_{σ}(y)))

Or T_{σ}(y) = −β_{σ} + y(polynôme en y) pour β_{σ} = \frac{U_{σ,0}}{V_{σ,0}} V_{σ,1} et f′_{τ} (x) = U_{τ} (x) + xU′_{τ} (x). Donc modulo (xy − tε),

σ̃τ̃(x) ≡ f_{στ} (x) + tε( − β_{σ}f′_{τ} (f_{σ}(x)) + β_{σ}U_{τ,0} + U_{τ,0}T_{σ}(y) + T_{τ} (g_{σ}(y)))

Nous devons identifier ce terme avec la classe modulo (xy − tε) de

c_{1}(σ, τ)σ̃τ(x) = f_{στ} (x) + tε(f′_{στ} (x)ϕ_{στ} (x) + T_{στ} (y))

Remarquons d’abord que les termes en y coincident. Comme g_{στ} (y) = g_{τ} (g_{σ}(y)), V_{στ} (y) = V_{σ}(y)V_{τ} (g_{σ}(y)). Donc

1 − U_{στ,0}V_{στ} (y) = \frac{V_{στ} (y)}{V_{σ}(y)}(\frac{1}{V_{τ} (g_{σ}(y))} − U_{στ,0}V_{σ}(y))

= \frac{V_{στ} (y)}{V_{σ}(y)}(U_{τ,0}(1 − U_{σ,0}V_{σ}(y)) + \frac{1 − U_{τ,0}V_{τ} (g_{σ}(y))}{V_{τ} (g_{σ}(y))})

Donc

\frac{1 − U_{στ,0}V_{στ} (y)}{V_{στ} (y)} = U_{τ,0} \frac{1 − U_{σ,0}V_{σ}(y)}{V_{σ}(y)} + \frac{1 − U_{τ,0}V_{τ} (g_{σ}(y))}{V_{σ}(y)V_{τ} (g_{σ}(y))}

Or yT_{σ}(y) = \frac{1−U_{σ,0}V_{σ}(y)}{V_{σ}(y)} ∈ k[[y]]. D’où

T_{στ} (y) = U_{τ,0}T_{σ}(y) + T_{τ} (g_{σ}(y))

Les termes en x donnent ϕ_{σ,τ} :

ϕ_{σ,τ} (x) = β_{σ}(\frac{1 − f′_{τ} (f_{σ}(x))}{f′_{στ} (x)})

Comme β_{σ} + β_{τ} = β_{στ} et f′_{στ} (x) = f′_{σ}(x)f′_{τ} (f_{σ}(x)) sont inversibles

ϕ_{σ,τ} (x) = \frac{β_{στ}}{f′_{στ} (x)} − \frac{β_{τ}}{f′_{στ} (x)} − \frac{β_{σ}}{f′_{σ}(x)}

Or l’action de G sur les champs de vecteur s’écrit σ(\frac{β_{τ}}{f′_{τ} (x)}) = \frac{β_{τ}}{f′_{στ} (x)}. Donc

ϕ_{σ,τ} (x) = \frac{β_{στ}}{f′_{στ} (x)} − σ(\frac{β_{τ}}{f′_{τ} (x)}) − \frac{β_{σ}}{f′_{σ}(x)}

De la même façon, nous pouvons montrer que

ψ_{σ,τ} (y) = \frac{α_{στ}}{g′_{στ} (y)} − σ(\frac{α_{τ}}{g′_{τ} (y)}) − \frac{α_{σ}}{g′_{σ}(y)}

Les relèvements σ̃ de σ ∈ G à k[[x, y]]/(xy) définissent une déformation G-équivariante [\frac{k[ε][[x,y]]}{(xy−tε)}, G], t ≠ 0 de O à k[ε] si et seulement si la classe [c_{1}] de c_{1} : G^{2} → Θ,

c_{1}(σ, τ) = (\frac{β_{στ}}{f′_{στ} (x)} − σ(\frac{β_{τ}}{f′_{τ} (x)}) − \frac{β_{σ}}{f′_{σ}(x)})\frac{∂}{∂x} + (\frac{α_{στ}}{g′_{στ} (y)} − σ(\frac{α_{τ}}{g′_{τ} (y)}) − \frac{α_{σ}}{g′_{σ}(y)})\frac{∂}{∂y}

est nulle dans H^{2}(G, Θ).

Remarque 5.3.4 D’après le lemme 3.3.1,

dim_{k} Ext_{O,G}^{1}(Ω̂_{O/k}, O) = dim_{k} H^{1}(G, Θ) + δ_{1}

avec δ_{1} = 1 si la classe [c_{1}] est nulle et δ_{1} = 0 sinon. D’après le calcul précédent (Lemme 5.3.3), ce terme δ_{1} s’interprète comme la contribution des déformations du point double aux déformations équivariantes.

Soit G =< σ >∈ Aut \frac{k[[x,y]]}{(xy)} un p-groupe cyclique G qui préserve les branches et agit trivialement sur l’espace tangent du point double. Notons G_{x} =< σ(x) >, G_{y} =< σ(y) > et p^{n_{x}}, p^{n_{y}} leurs ordres respectifs. Le groupe G_{x} (resp. G_{y}) s’identifie au groupe de Galois de l’extension k((x))/k((t_{x})) (resp. k((y))/k((t_{y}))) avec k[[t_{x}]] = k[[x]]^{G_{x}} (resp. k[[t_{y}]] = k[[y]]^{G_{y}}). Notons β_{x} (resp. β_{y}) l’exposant de la différente de k((x))/k((t_{x})) (resp. de k((y))/k((t_{y}))). Par convention cette différente est égale à -1 si le groupe de Galois est trivial. Avec ces notations, nous pouvons énoncer le corollaire suivant :

Corollaire 5.3.5 Soit G ∈ Aut\frac{k[[x,y]]}{(xy)} un p-groupe cyclique qui préserve les branches et agit trivialement sur l’espace tangent du point double. Alors

dim_{k} Ext_{O,G}^{1}(Ω̂_{O/k}^{1}, O) = ⌊\frac{2(β_{x} + 1)}{p^{n_{x}}}⌋ − ⌈\frac{β_{x} + 1}{p^{n_{x}}}⌉ + ⌊\frac{2(β_{y} + 1)}{p^{n_{y}}}⌋ − ⌈\frac{β_{y} + 1}{p^{n_{y}}}⌉ + δ_{1}

où δ_{1} = 1 si la classe [c_{1}] est nulle et δ_{1} = 0 sinon.

Preuve : Nous avons la suite exacte (Lemme 3.3.1)

0 → H^{1}(G, Θ) → Ext_{O,G}^{1}(Ω̂_{O/k}^{1}, O) → Ext_{O}^{1}(Ω̂_{O/k}^{1}, O)^{G} →^{φ} H^{2}(G, Θ)

Comme l’action de G est supposée triviale sur l’espace tangent

Ext_{O}^{1}(Ω̂_{O/k}^{1}, O)^{G} ≃ Ext_{O}^{1}(Ω̂_{O/k}^{1}, O) ≃ k

Ainsi dim_{k} Ext_{O,G}^{1}(Ω̂_{O/k}^{1}, O) = dim_{k} H^{1}(G, Θ) + δ_{1} avec δ_{1} = 1 si φ = 0 et δ_{1} = 0 sinon (cette condition est traduite en termes de nullité de la classe [c_{1}] dans le lemme 5.3.3). Il nous suffit donc de calculer dim_{k} H^{1}(G, Θ). D’après le lemme 5.3.1, Θ = xk[[x]]\frac{∂}{∂x} ⊕ yk[[y]]\frac{∂}{∂y}. En reprenant la preuve de la proposition 4.1.1 [BeMé], nous obtenons

dim_{k} H^{1}(G_{x}, xk[[x]]\frac{d}{dx}) = ⌊\frac{2(β_{x} + 1)}{p^{n_{x}}}⌋ − ⌈\frac{β_{x} + 1}{p^{n_{x}}}⌉

D’où le résultat annoncé.

Remarque 5.3.6 Si G = Z/pZ, et si les conducteurs de G_{x}, G_{y} sont différents de 1, alors δ_{1} = 1. En effet dans ce cas α_{σ} = β_{σ} = 0, σ ∈ G, donc c_{1} = 0.

Corollaire 5.3.7 Soit G ⊂ \frac{k[[x,y]]}{(xy)} un p-groupe cyclique qui préserve les branches et agit trivialement sur l’espace tangent du point double. Alors

dim_{k} Ext_{O,G}^{2}(Ω̂_{O/k}^{1}, O) = dim_{k} Ext_{O,G}^{1}(Ω̂_{O/k}^{1}, O) + δ_{2}

avec δ_{2} ∈ {0, 1}.

Preuve : La suite suivante est exacte (Lemme 3.3.2)

Ext_{O}^{1}(Ω̂_{O/k}^{1}, O) → H^{2}(G, Θ) → Ext_{O,G}^{2}(Ω̂_{O/k}^{1}, O) → H^{1}(G, Ext_{O}^{1}(Ω̂_{O/k}^{1}, O)) → H^{3}(G, Θ)

D’après le lemme 5.3.1, Θ = xk[[x]]\frac{∂}{∂x} ⊕ yk[[y]]\frac{∂}{∂y}. D’après la proposition 4.1.1 [BeMé] dim_{k} H^{1}(G_{x}, xk[[x]]\frac{d}{dx}) = dim_{k} H^{2}(G_{x}, xk[[x]]\frac{d}{dx}). D’où

dim_{k} H^{1}(G, Θ) = dim_{k} H^{2}(G, Θ)

Avec les notations du corollaire 5.3.5, dim_{k} Coker(Ext_{O}^{1}(Ω̂_{O/k}^{1}, O) → H^{2}(G, Θ)) = δ_{1}. D’où

dim_{k} Ext_{O,G}^{2}(Ω̂_{O/k}^{1}, O) =
dim_{k} Ext_{O,G}^{1}(Ω̂_{O/k}^{1}, O) + dim_{k} ker (H^{1}(G, Ext_{O}^{1}(Ω̂_{O/k}^{1}, O)) → H^{3}(G, Θ))

Les corollaires 5.3.5, 5.3.7 revèlent l’importance de la notion d’épaisseur de la déformation verselle : La déformation formelle équivariante du point double a pour base \frac{R_{ver}[[x,y]]}{(xy−r)} où R_{ver} est l’anneau versel de la déformation et r ∈ M_{R_{ver}}. L’épaisseur de la déformation verselle est définie par e = sup(m, r ∈ M_{R_{ver}}^{m}). La nullité de la classe [c_{1}] traduit que l’épaisseur de la déformation verselle \frac{R_{ver}[[x,y]]}{(xy−r)} est 1 : r ≢ 0 mod M_{R_{ver}}^{2}. Plus généralement, il serait intéressant d’interpréter cohomologiquement l’épaisseur e de la déformation verselle (où e est défini par r ∈ M_{R_{ver}}^{e}, r ∉ M_{R_{ver}}^{e+1}). Enfin il est naturel de demander sous quelle condition sur le groupe d’inertie G du point double, l’action de G est lissifiable.

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Université de Grenoble I Institut Fourier UMR 5582 CNRS-UJF UFR de Mathématiques B.P. 74 38402 Saint-Martin d’Hères Cedex (France)

courriel : jose.bertin@ujf-grenoble.fr, ariane.mezard@ujf-grenoble.fr